第三部分 费尽周折
第30节 无穷小(4)

    又一面旗帜在从熟悉的方向刮来的微风中飘扬：数学中一个抑制不住的迫切要求产生了。如果函数f(x)=xx有如此有趣的病理，一个函数 怎么样，或者另一个 怎么样呢，或者越来越长的变量的变量的变量的……的指数，直到你发现自己爬到就是混乱的塔顶？答案（它来自洛必达法则的重复应用）是具有讽刺意味的：当x从右边趋向0时，如果在塔顶x的数量是奇数，极限是0。如果是偶数，极限是1。

    当然这对00异常兴奋的魔鬼来说，这算不了什么：我们尽力企盼，我们尽力去做，世界的结构对于它的具体化来说太令人惊讶了。但是思维有它自己的奇迹，并从我们进退两难的局面中找到方法。如果你看任何一个多项式，你看到它以一个常数项结束：

    17x3－8x＋3

    或者

    102x19－14x8＋5x5－7，

    或者甚至是

    x2＋x

    在它最后有一个默认的0常数项。

    为了使计算更方便，那么（当我们将多项式相乘时特别有用）排列这里的每一项，将x的幂从最大逐渐递减；并在每一项中显示变量。在我们第一个例子中x2在哪里呢？暗含在那里，零又一次成为救世的化身，就是作为系数。如果我们完整的写出它就是：

    17x3＋0x2－8x＋3

    而在每一个多项式的最后一项中变量在哪里呢？再一次，但是（一致地随着幂的递减）使用零次幂，因为我们知道x0=1。因此再次重新书写我们的例子就是：

    17x3＋0x2－8x＋3x0

    最后一项无疑是3，并且必须保留x的任何值——甚至它应该带上值0。因此，将常数看作x0的系数，并规定无论x是什么，x2=1：甚至当x=0的时候，00=1。

    “规定”，是为了推广这个符号，并且应用：与将指数从自然数引申到0、负数和分数时候相比，我们有更多的余地，这时我们发现我们不安起来。如果他们必须适合旧规定，那么，唯一的途径就是我们必须定义新的用法。现在，看起来在符号00中两条路线的收敛性没有实质的意义，并且我们可以在语法或美学的条件下为它选择其中一个。

    这挫伤了象莱布尼兹（对它的符号如此细心）那些人怀有的希望，从形式化产生的新的语法结构应该符合原来的语言习惯。显然符号和讨论对象要能更灵活地结合，并且我们要在需要和惯例之间取得一致。

    胜利之后就是一个有益的失败。但是我们现在得到零在发展我们的知识时的最大成功。感谢微积分，在我们使用任何约定时，零处于支配地位并且用最少的努力完成。同样，在理解事物的运动时零也处于支配地位，因为虽然这也许不是所有可能语言中最好的那个，但在结构上它是最优的：在特定的环境中是最好的。

    为什么说零是关键？因为“世界上什么也没有发生，它的意思不是某一最大值或最小值的意思”这是牛顿之后数十年最伟大的数学家利昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）指出的。阳光的照射、商品的价格、印度豹的行速、翼翅的形状、一片树叶、一场山洪、所有的往返和继续、细小精致的修补，均是一个最优化问题的解答。我们如何预测涉及我们的过程在什么时候达到它期望的最值？拿出一个连续变化的描述这个过程的函数，画出它的曲线图；注意到曲线的峰顶和谷底处的切线的斜率是——零！

    峰顶和波谷的水平切线

    事实上我们甚至不需要画曲线图；我们从最初读作函数曲线图上任意一点的斜率中导出另一个函数：以前叙述过的函数f‘（x）。这个新的、导出的函数取零的地方，它的输入值就是f(x)取最大或最小值的数字（决定它时需要一点注意：最大值出现在——从左边到右边——斜率从正变到负，最小值出现在从负到正的转折处。另外，当你被悬挂在礁石上，你可能被误导进而认为你已经到达了山顶或谷底。表示这样一个零斜率的左边和右边的符号让你一直奋力挣扎）。

    最大值、最小值和拐点

    如果有几个极值点，我们通过比较原函数在这些点的值找到最大或最小值。

    最大值

    在零存在的情况下，你希望摇摆不定的值重新回来。这里，零作为被一系列递减数字接近的极限，在微积分中的新概念产生出再没有如此害羞的角色：更确切的说，真实的零在变化过程中扮演的角色就像一个出席舞会的少女的女伴。认为所有工程和科学是专门用来引出并解释它的符号的看法一点也不夸张，因为如果欧拉是对的，这些符号将指出世界的意义。

    书写一个胜利者的历史是多么轻松和愉快呀，展示必须出现的事件——逐渐增长的对极小量的忽视、将变化作为基础这个观点的胜利、十九世纪将极限概念合法化的努力——为他们最佳化的努力，如果没有它们，我们也许仍旧陷在世界是存在于沙堆之上的形而上学的思考之中。然而我们又一次看到达芬奇潦草的笔迹在岁月留下的釉面（烧制陶器前附在陶器表面上的一层着色的、不透明或透明的材料——译者注）上扩散：告诉我是否任何事情都完成了？因为我们总是处在两个战争之间，并且胜利都仅仅是相对最大。收缩的观点被轻视和忽略这么多年之后，当它们的最新支持者对牛顿建造的城堡组织一场复杂的攻击时，你可以再次听到无穷小量汇聚起的此起彼伏声音。

    这些复兴的无限小量停留在我们追寻的两个主题的交点：零是目标而形式是正确性的保证。我提到，新的理解可能来源于为给我们的理解加盖肯定的印章而创造的语言结构——并且正是大约五十年前开始的，一想到来自德国的流浪者亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson），这件事就发生了。虽然他在加利福尼亚开着最新款式的红色赛车，但是他的思想在一个极其不同的模型中飞梭：新近流行和强大起来的那些绝对的抽象概念建立起来了许多公理的连贯性。

    这个设想是这样的：举个例子，如果你有一系列的控制来使钟表工作，当你试图建立这个控制的时候，你发现一个控制需要一个杠杆下降，而同时另一个控制却要求它上升，那么你会看到你的控制是相互矛盾的：它们导致的冲突意味着它们的模型不能建立。因此如果你能建立或发现一组控制的模型，那么这一组控制一定相互协调。当然这个模型不需要用雪松木甚至轻木和棉纸来建立：它的组成部分可能全部是概念上的，它是智慧作品的集合。回忆第十章结尾部分定义如何加和乘的公理：有理数，或实数都是它们的一个模型，只要它有一个要素的基本数字。同一系列的公理可能有本质上不同的模型，这个事实——我们在前几页的发现这个事实令人讨厌，当它否定了关于世界的一个独一无二的观点——给罗宾逊提供了线索。

    他所作的就是建立公理的一个“非标准”的模型，这些公理统治着微积分（或分析学）并包含所有的实数但是也确实有一些很特殊的数字：比零大但比你能叫出的任何实数都小的数。这些几乎什么也没有的数就是他的无限小量，利用它们，罗宾逊和其他人简洁轻松地证明了所有传统的和部分新定理，十九世纪愚笨的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的荣誉和我们思考变化的方法。

    这是最终的胜利吗？斗争仍然激烈进行，因为，如果莱布尼兹的无限小量是过去数量的幽灵，那么罗宾逊的看起来就是语言表达的而非数量的幽灵。这些无限小量在正式逻辑的语言中的存在多于在世界上的存在，甚至在语言中，他们也更接近标点符号而不是字母、音符和单词。你可能回答说，我们平常的零刚开始出现的时候也是纯粹作为一个标点符号灵活使用的。确实，我们不能预测这些无限小量将可能如何发展进化。然而罗宾逊自己坚持认为这些无穷小量不是实数而仅仅是非常实用的工具，并且提醒我们，莱布尼兹也同意这个观点。非常值得注意的是，他声称自己没有发明新的事物，而仅仅是发明了“新的推理程序”。

    好像你已经决定我们语言中的连接词（“和（and）”，“或(or)”“但是(but)”等等）也是事物的名字，并且在被这些创造物丰富起来的新世界中，你发现以前模糊的概念突然清楚了。你可能不愿意放弃这些洞察力，因为仅仅是一些不确定的中间物使这些概念清楚了。你可能甚至开始反复考虑“但是”和“或者”的原意——不知何故——象他们代表的目标和过程的名称那样，是存在的要求：这是信基督教的德国诗人摩根斯坦(Morgenstern)在1905年第一个从下面的诗中发现的一个观点：

    曾经有一个尖木桩围城的栅栏

    栅栏上有间隔可以让你看到从“因此（hence）”到“从此（thence）”。

    一个建筑师看到此景

    某夜突然接近它，

    消除掉栅栏上的间隔

    并且用他们建造了一处住所。